Saccheri, con questo libro, volle dimostrare le assurde conseguenze che si sarebbero ottenute considerando non vero il postulato V di Euclide sulle parallele. Di fatto egli ottiene lucide e articolate conseguenze, che però gli giocano uno scherzo: nessuna di esse è una assurdità logica e tutte insieme costituiscono un piccolo corpus di geometria non-euclidea.
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Da Saccheri in poi, non si può ignorare che da un assioma opposto a quello euclideo derivi una geometria in sé perfettamente coerente.
